大國院士 第二百零二章兩條不同的路

打發(fā)走四名學(xué)生后，徐川再度站到了費(fèi)弗曼教授抒寫數(shù)學(xué)的黑板前。

ns方程，全名納維斯托克斯方程，是一個描述粘性不可壓縮流體動量守恒的運(yùn)動方程。

廣義上來說，它并不是一個方程，而是數(shù)個方程組成的一個方程組。

比如由納維在1827年最先提出粘性流體的運(yùn)動方程；

比如泊松在1831年提出可壓縮流體的運(yùn)動方程；

亦或者圣維南與斯托克斯在1845年獨(dú)立提出粘性系數(shù)為一常數(shù)的形式，都稱為okes方程。

這些方程反映了粘性流體流動的基本力學(xué)規(guī)律，在流體力學(xué)中有十分重要的意義。

但它的求解非常困難和復(fù)雜，在求解思路或技術(shù)沒有進(jìn)一步發(fā)展和突破前只有在某些十分簡單的特例流動問題上才能求得其精確解。

截止到目前，數(shù)學(xué)界對其的推進(jìn)也只不過是‘在給定的初始值的某種范數(shù)適當(dāng)小，或流體運(yùn)動區(qū)域適當(dāng)小的假設(shè)條件下，n·s方程的整體光滑解的存在”這一步而已。

這對于整體的ns方程來說，幾乎可以說完全沒有什么推進(jìn)。

畢竟當(dāng)雷諾數(shù)re≥1時，繞流物體邊界層外，粘性力遠(yuǎn)小于慣性力，方程中的粘性項(xiàng)幾乎可以忽略。

而忽略掉了粘性項(xiàng)后，ns方程可以簡化為理想流動中的歐拉方程。

如果是單純的對歐拉方程進(jìn)行求解的話，并不難。

但很顯然，這種地步的求解，并不符合徐川對于ns方程的要求。

對于n·s方程而言，他不要求完全解決掉這個問題，去求證出解的光滑性，也不夢想能計(jì)算出最終解。

但至少，他想要做到能在給定一定的初始條件和邊界條件下，可以確定流體的流動。

這是控制可控核聚變反應(yīng)堆腔室中超高溫等離子體流動的基礎(chǔ)要求。

如果這個都做不到，后續(xù)的湍流模型和控制系統(tǒng)那就更別想了。

而費(fèi)弗曼叫教授羅列在眼前黑板上的這些算式，能為推進(jìn)到這一步帶來希望。

如果能解決掉這個等譜問題，他和費(fèi)弗曼就能將ns方程就能往下推進(jìn)一小步。

至少，能做到在曲面空間中，給定一個初始條件和邊界條件，確定解的存在并且光滑。

別小看只是一小步，但數(shù)學(xué)界用了一百五十年的時間都沒有的做到過。

所以徐川迫切的希望能夠解決這個問題。

站在黑板前，徐川沉思了良久，最終依舊是搖了搖頭。

對于等譜非等距同構(gòu)猜想，他暫時并沒有什么想法，無論是拉普拉斯算子還是橢圓算子，亦或者有界連通區(qū)域入手，他都看不到什么希望。

至少，這些方向并沒有給他帶來什么讓人眼前一亮的想法或者思路。

搖了搖頭，徐川重新回到了辦公桌前，暫時放棄掉去等譜問題的突破，開始整理這段時間和費(fèi)弗曼的交流。

或許費(fèi)弗曼說的沒錯，靈感說不定就在整理資料的自己冒出來了呢？

但遺憾的是，這一預(yù)言的靈感直到他將思路和想法整理完畢也沒有冒出來。

好在他并不是一個急性子，長期的科研經(jīng)歷讓徐川知道，越是面對這種世界級的難題，越是要沉住氣穩(wěn)住心才行。

一個人在急迫，慌亂的時候，做出的選擇和決定，不說百分百都是錯的，但選錯的概率，無疑是相當(dāng)大的。

最好的辦法，就是理清思路，從基礎(chǔ)做起了。

解決問題要找關(guān)鍵，而解決數(shù)學(xué)問題的一種方法是將它們分解成更小、更易于管理的部分。

這種方法被稱為“分而治之”。

通過將問題分成更小的部分，可以讓它變得更容易理解和解決。

此外，將問題分成更小的部分可以幫助識別在從整體上看問題時可能不會立即顯現(xiàn)的模式和關(guān)系。

當(dāng)然，這種方法并不適用于所有的數(shù)學(xué)猜想。

因?yàn)橛行?shù)學(xué)猜想無法被拆分。

但對于等譜非等距同構(gòu)猜想而言，它并不屬于無法被拆分的問題，它的基礎(chǔ)構(gòu)建于近代微分幾何上的數(shù)學(xué)難題，融合了譜理論與等譜問題、曲率與拓?fù)洳蛔兞康确较虻臄?shù)學(xué)知識。

在這個基礎(chǔ)上，徐川將其拆分成了原始的數(shù)學(xué)架構(gòu)，然后從這輩子最熟悉的譜理論與等譜數(shù)學(xué)出發(fā)，去一點(diǎn)點(diǎn)的完善和解決的這些問題。

這種手段在物理領(lǐng)域也很常見，一般說來，復(fù)雜的物理過程都是由若干個簡單的“子過程”構(gòu)成的。

因此，分析物理過程的最基本方法，就是把復(fù)雜的問題層次化，把它化解為多個相互關(guān)聯(lián)的“子過程”來研究。

這種方法不僅僅在初高中大學(xué)這種學(xué)生時代有用，哪怕進(jìn)入了研究生，博士生，也依舊能適應(yīng)于各種物理領(lǐng)域。

而數(shù)學(xué)的拆分法，和物理的分析法，有著異曲同工之妙。

所以徐川用起來還是挺得心應(yīng)手的，至少需要花費(fèi)大量時間去學(xué)習(xí)一種新的數(shù)學(xué)研究方法。

接下來一周多的時間，徐川都在專心嘗試用這種方法去解決等譜非等距同構(gòu)猜想，而普林斯頓每周的授課，他都交給了較為年長一些的羅杰·迪恩。

今年已經(jīng)三十一的羅杰·迪恩在意呆利米蘭理工大學(xué)已經(jīng)快成了博士學(xué)位，甚至畢業(yè)論文都已經(jīng)準(zhǔn)備好了，來普林斯頓是進(jìn)修的，代替他給那些本科生講課并沒有什么問題。

當(dāng)然，徐川也不白嫖人家的勞動力，盡管按照學(xué)術(shù)界的潛規(guī)則，他白嫖也沒關(guān)系，但他還是給這個學(xué)生在普林斯頓申請了一份實(shí)習(xí)助理的職位。

有這份職位，羅杰·迪恩能享受普林斯頓的一些補(bǔ)助，雖然并不多，但足夠支撐他的日常生活了。

而且有這份經(jīng)歷，日后羅杰·迪恩如果申請普林斯頓的助理教授的話，會容易不少。

這也算是徐川給這位學(xué)生的一些報酬，畢竟他不是那種無良各種壓榨學(xué)生的導(dǎo)師，也做不出白嫖學(xué)生勞動力的事情。

當(dāng)然，并不是所有人都會這樣，對于一些博士生導(dǎo)師而言，安排自己帶的學(xué)生代替自己去上課是理所當(dāng)然的事情。

報酬什么的，恐怕他們從未想過。

甚至還存在極少部分的導(dǎo)師，恨不得占據(jù)學(xué)生自己獨(dú)立研發(fā)的每一份成果。

辦公室中，已經(jīng)十多天沒有過來的費(fèi)弗曼教授再次來到了這邊。

“費(fèi)弗曼教授?！?p/> 徐川打了個招呼，讓阿米莉亞泡了兩杯咖啡過來。

“謝謝?！睆陌⒚桌騺喪种薪舆^咖啡后，費(fèi)弗曼吹了吹上面的浮沫，小小的喝了口后，看向徐川：“徐，關(guān)于上次的那個等譜問題，我或許有了一點(diǎn)思路。”

“你說?！?p/> 徐川點(diǎn)了點(diǎn)頭，示意自己在聽。

其實(shí)不光是的費(fèi)弗曼教授有了思路和靈感，這些天他一直都在拆分研究等譜非等距同構(gòu)猜想，心中也有了一些想法。

費(fèi)弗曼沉吟了一下，組織了一下思路后開口道：“研究一個流形的譜是黎曼幾何的一個基本問題.對于緊致黎曼流形來說，所有的譜都是點(diǎn)譜，即拉普拉斯算子的所有的譜都由那些重數(shù)為有限的特征值組成，而對于完備非緊流形來說，情況要復(fù)雜的多?！?p/> “假設(shè)Ω是的一個開區(qū)域，u是定義在Ω上的一個光滑函數(shù)，u的hessian矩陣為（2u/zjzk），其特征值為λ1，λ2λn，定義復(fù)hessian算子為”

“通過光滑函數(shù)逼近，使pm中也包括非光滑函數(shù).稱u∈dm，若存在一個正則的borel測度μ以及一個單調(diào)下降的光滑函數(shù)序列{uj}pm使得hm(uj)→μ，并且記為hm(u)μ.....”

“如果從這方面入手的話，或許有希望能深入到等譜非等距同構(gòu)猜想中?！?p/> “不知道你怎么看？”

將自己的思路說出來后，費(fèi)弗曼期待的看向徐川。

徐川沒有立即回答，手指在辦公桌規(guī)律的敲擊著，他從費(fèi)弗曼的話語中，看到了另一條通向等譜問題的道路。

一類二階完全非線性偏微分方程的格林函數(shù)，這是一條他此前沒有想過的道路。

但這條道路從費(fèi)弗曼的口中說出來，他敏銳的察覺到似乎同樣可行。

沉思了一會，徐川停下敲擊紅木辦公桌的手指開口道：“從非線性偏微方程方向出發(fā)，利用狄利克雷函數(shù)來研究等譜問題，這一方向是我沒有想過的?！?p/> “不過單從直覺來看，這或許是條可行的道路，完全值得一試?！?p/> 聞言，費(fèi)弗曼嘴角揚(yáng)起了一絲笑容：“那讓我們出發(fā)吧。”

徐川笑了笑，道：“不急，關(guān)于等譜非等距同構(gòu)猜想問題，我這邊也有一些想法，你要不要聽聽？”

費(fèi)弗曼眼神中劃過一絲驚訝，不過很快就被好奇覆蓋了，他迅速回道：“當(dāng)然?！?p/> 徐川起身，走到辦公室的邊緣，將之前使用過的黑板從角落中拖了出來，拾起一支粉筆，整理了一下思路后在上面寫道：

“這里Γ是Ω的邊界，并且ΓΓ1uΓ2，Ω是rn中有界非空開集，或一般的具有限勒貝格測度的n維區(qū)域，△是laplace算子，t1和t2都非空.我們定義”

“譜譜6(p)是離散的，按其特征值的有限重數(shù)可排列成0≤λ1≤λ2≤…≤λk≤…并且當(dāng)k→00時，入k→0，定義n(o，λ，λ)#{k∈n]ょ.

辦公室中，徐川手持粉筆在黑板上書寫著自己的思路與想法，費(fèi)弗曼教授則站在身后觀看著。

到了他們這個層次的數(shù)學(xué)家，并不需要報告者過多的詳細(xì)介紹自己的想法，從書寫出來的公式中，完全就可以看出來。

而隨著徐川的書寫，費(fèi)弗曼的眼神也逐漸明亮了起來，從一開始的好奇，到驚訝，再到驚愕了然。

正如徐川從他的述說中看到了一條通向等譜非等距同構(gòu)猜想問題的道路一樣，他也從徐川書寫中看到了一條完全不同的道路。

這條思路，同樣有可能解決掉阻礙他們前進(jìn)的困難。

如果單從可能性上來說，黑板上的那條思路，解決等譜問題的可能性更大。

畢竟他只是提出了一條看似可行的道路，而徐川卻在另一條道路上已經(jīng)做了開辟。

這就好比一個人指著一塊空地說我要在這里蓋一棟房子，而另一個人已經(jīng)用挖機(jī)將這塊空地打理平整了一樣。

兩方同樣是在空地上蓋房子，但后者給人的可信度遠(yuǎn)高于前者。

將這些天腦海中的想法和整理出來的思路重述到眼前的黑板上后，徐川轉(zhuǎn)身看向費(fèi)弗曼。

“這就是我的思路，通過構(gòu)造一個兩兩不相交的有界開域的集合，然后再利用拉普拉斯算子來完成對于r2和r3兩個混合邊值條件等譜非等距同構(gòu)區(qū)域的構(gòu)造。”

“或許它同樣是一條可以通向解決等譜問題的道路?！?p/> “不知道你怎么看？”

費(fèi)弗曼提出的想法和他本身想到的思路是兩條完全不同的路，但徐川并不覺得費(fèi)弗曼是錯的。

當(dāng)然，他也不覺得他自己的想法是錯的。

殊途同歸，對于這種頂級的數(shù)學(xué)難題而言，它本身涉及的東西就很多，根本就沒有什么解決問題的唯一方法。

它不像112永遠(yuǎn)恒定一樣，無論是從狄利克雷函數(shù)和非線性偏微分方程出發(fā)，還是構(gòu)造有界開域集合，利用拉普拉斯算子來完成非等距同構(gòu)區(qū)域的構(gòu)造，兩者都是解決問題的方法。

盡管這兩種方法的差別相差很大。

但數(shù)學(xué)發(fā)展至今，邊界早已模湖。

數(shù)論、代數(shù)學(xué)、幾何學(xué)、拓?fù)鋵W(xué)、數(shù)學(xué)分析、.....函數(shù)論、常微分方程、偏微分方程這些數(shù)學(xué)的分類早已是你中有我，我中有你。

如今的數(shù)學(xué)，從一個看似不相關(guān)的領(lǐng)域出發(fā)，卻解決另一個領(lǐng)域的重大難題早已不是什么稀奇的事情。

甚至還有很多的數(shù)學(xué)家，在專門嘗試去將兩個不同的領(lǐng)域連接起來。

亦如教皇格羅滕迪克奠定現(xiàn)代代數(shù)幾何學(xué)基礎(chǔ)后，無數(shù)數(shù)學(xué)家前仆后繼的想要完成代數(shù)與幾何的大統(tǒng)一一樣。