高一必修2數學知識點總結

時間：2022-07-12 10:16:13 總結我要投稿

高一必修2數學知識點總結集錦

　　在平時的學習中，很多人都經常追著老師們要知識點吧，知識點有時候特指教科書上或考試的知識。掌握知識點是我們提高成績的關鍵！以下是小編精心整理的高一必修2數學知識點總結，希望對大家有所幫助。

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　　高一必修2數學知識點總結 1

　　一、直線與方程高考考試內容及考試要求：

　　考試內容：

　　1．直線的傾斜角和斜率；直線方程的點斜式和兩點式；直線方程的一般式；

　　2．兩條直線平行與垂直的條件；兩條直線的交角；點到直線的距離；

　　考試要求：

　　1．理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過兩點的直線的斜率公式，掌握直線方程的點斜式、兩點式、一般式，并能根據條件熟練地求出直線方程；

　　2．掌握兩條直線平行與垂直的條件，兩條直線所成的角和點到直線的距離公式能夠根據直線的方程判斷兩條直線的位置關系；

　　二、直線與方程

　　課標要求：

　　1．在平面直角坐標系中，結合具體圖形，探索確定直線位置的幾何要素；

　　2．理解直線的傾斜角和斜率的概念，經歷用代數方法刻畫直線斜率的過程，掌握過兩點的直線斜率的計算公式；

　　3．根據確定直線位置的幾何要素，探索并掌握直線方程的幾種形式（點斜式、兩點式及一般式），體會斜截式與一次函數的關系；

　　4．會用代數的方法解決直線的有關問題，包括求兩直線的交點，判斷兩條直線的位置關系，求兩點間的距離、點到直線的距離以及兩條平行線之間的距離等。

　　要點精講：

　　1．直線的傾斜角：當直線l與x軸相交時，取x軸作為基準，x軸正向與直線l向上方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角。特別地，當直線l與x軸平行或重合時，規定α=0°。

　　傾斜角α的取值范圍：0°≤α＜180°。當直線l與x軸垂直時，α=90°。

　　2．直線的斜率：一條直線的傾斜角α（α≠90°）的正切值叫做這條直線的斜率，斜率常用小寫字母k表示，也就是k=tanα

　�。�1）當直線l與x軸平行或重合時，α=0°，k=tan0°=0；

　　（2）當直線l與x軸垂直時，α=90°，k不存在。

　　由此可知，一條直線l的傾斜角α一定存在，但是斜率k不一定存在。

　　3．過兩點p1（x1，y1），p2（x2，y2）（x1≠x2）的直線的斜率公式：

　�。ㄈ魓1＝x2，則直線p1p2的斜率不存在，此時直線的傾斜角為90°）。

　　4．兩條直線的平行與垂直的判定

　�。�1）若l1，l2均存在斜率且不重合：

　　注：上面的等價是在兩條直線不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少這個前提，結論并不成立。

　�。�2）若A1、A2、B1、B2都不為零。

　　注意：若A2或B2中含有字母，應注意討論字母=0與0的情況。

　　兩條直線的交點：兩條直線的交點的個數取決于這兩條直線的方程組成的方程組的解的個數。

　　5．直線方程的五種形式

　　確定直線方程需要有兩個互相獨立的條件，確定直線方程的形式很多，但必須注意各種形式的直線方程的適用范圍。

　　直線的點斜式與斜截式不能表示斜率不存在（垂直于x軸）的直線；兩點式不能表示平行或重合兩坐標軸的直線；截距式不能表示平行或重合兩坐標軸的直線及過原點的直線。

　　6．直線的交點坐標與距離公式

　�。�1）兩直線的交點坐標

　　一般地，將兩條直線的方程聯立，得方程組

　　若方程組有唯一解，則兩條直線相交，解即為交點的坐標；若方程組無解，則兩條直線無公共點，此時兩條直線平行。

　　（2）兩點間距離

　　兩點P1（x1，y1），P2（x2，y2）間的距離公式

　　特別地：軸，則、軸，則

　�。�3）點到直線的距離公式

　　點到直線的距離為：

　�。�4）兩平行線間的距離公式：

　　若，則：

　　注意點：x，y對應項系數應相等。

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　　棱錐

　　棱錐的定義：有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，這些面圍成的幾何體叫做棱錐

　　棱錐的的性質：

　�。�1）側棱交于一點。側面都是三角形

　　（2）平行于底面的截面與底面是相似的多邊形。且其面積比等于截得的棱錐的高與遠棱錐高的比的平方

　　正棱錐

　　正棱錐的定義：如果一個棱錐底面是正多邊形，并且頂點在底面內的射影是底面的中心，這樣的棱錐叫做正棱錐。

　　正棱錐的性質：

　�。�1）各側棱交于一點且相等，各側面都是全等的等腰三角形。各等腰三角形底邊上的高相等，它叫做正棱錐的斜高。

　�。�3）多個特殊的直角三角形

　　esp：

　　a、相鄰兩側棱互相垂直的正三棱錐，由三垂線定理可得頂點在底面的射影為底面三角形的垂心。

　　b、四面體中有三對異面直線，若有兩對互相垂直，則可得第三對也互相垂直。且頂點在底面的射影為底面三角形的垂心。

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　　直線與平面有幾種位置關系

　　直線與平面的關系有3種：直線在平面上，直線與平面相交，直線與平面平行。其中直線與平面相交，又分為直線與平面斜交和直線與平面垂直兩個子類。

　　直線在平面內——有無數個公共點；直線與平面相交——有且只有一個公共點；直線與平面平行——沒有公共點。直線與平面相交和平行統稱為直線在平面外。

　　直線與平面垂直的判定：如果直線L與平面α內的任意一直線都垂直，我們就說直線L與平面α互相垂直，記作L⊥α，直線L叫做平面α的垂線，平面α叫做直線L的垂面。

　　線面平行：平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行。平面外一條直線與此平面的垂線垂直，則這條直線與此平面平行。

　　直線與平面的夾角范圍

　　[0，90°]或者說是[0，π/2]這個范圍。

　　當兩條直線非垂直的相交的時候，形成了4個角，這4個角分成兩組對頂角。兩個銳角，兩個鈍角。按照規定，選擇銳角的那一對對頂角作為直線和直線的夾角。

　　直線的方向向量m=（2，0，1），平面的法向量為n=（—1，1，2），m，n夾角為θ，cosθ=（m_n）/|m||n|，結果等于0。也就是說，l和平面法向量垂直，那么l平行于平面。l和平面夾角就為0°

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　　空間幾何

　　一、立體幾何常用公式

　　S（圓柱全面積）=2πr（r+L）；

　　V（圓柱體積）=Sh；

　　S（圓錐全面積）=πr（r+L）；

　　V（圓錐體積）=1/3Sh；

　　S（圓臺全面積）=π（r^2+R^2+rL+RL）；

　　V（圓臺體積）=1/3[s+S+√（s+S）]h；

　　S（球面積）=4πR^2；

　　V（球體積）=4/3πR^3。

　　二、立體幾何常用定理

　�。�1）用一個平面去截一個球，截面是圓面。

　�。�2）球心和截面圓心的連線垂直于截面。

　�。�3）球心到截面的距離d與球的半徑R及截面半徑r有下面關系：r=√（R^2—d^2）。

　�。�4）球面被經過球心的平面載得的圓叫做大圓，被不經過球心的載面截得的圓叫做小圓。

　�。�5）在球面上兩點之間連線的最短長度，就是經過這兩點的大圓在這兩點間的一段劣弧的長度，這個弧長叫做兩點間的球面距離。

　　點、線、面之間的位置關系

　　一、點、線、面概念與符號

　　平面α、β、γ，直線a、b、c，點A、B、C；

　　A∈a——點A在直線a上或直線a經過點；

　　aα——直線a在平面α內；

　　α∩β=a——平面α、β的交線是a；

　　α∥β——平面α、β平行；

　　β⊥γ——平面β與平面γ垂直。

　　二、點、線、面常用定理

　　1、異面直線判斷定理

　　過平面外一點與平面內一點的直線，和平面內不過該點的直線是異面直線。

　　2、線與線平行的判定定理

　�。�1）平行于同一直線的兩條直線平行；

　�。�2）垂直于同一平面的兩條直線平行；

　�。�3）如果一條直線和一個平面平行，經過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行；

　�。�4）如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行；

　�。�5）如果一條直線平行于兩個相交平面，那么這條直線平行于兩個平面的交線。

　　3、線與線垂直的判定

　　若一條直線垂直于一個平面，那么這條直線垂直于平面內所有直線。

　　4、線與面平行的判定

　�。�1）平面外一條直線和平面內一條直線平行，則該直線與此平面平行；

　　（2）若兩個平面平行，則在一個平面內的任何一條直線必平行于另一個平面。

　　平面解析幾何—直線與方程

　　一、直線與方程概念、符號

　　1、傾斜角

　　在平面直角坐標系中，對于一條與x軸相交的直線，如果把x軸繞著交點按逆時針方向旋轉到和直線重合時所轉的最小正角記為α，那么α就叫做直線的傾斜角，當直線和x軸平行或重合時，規定其傾斜角為0°，因此，傾斜角的取值范圍是0°≤α<180°。

　　2、斜率

　　傾斜角不是90°的直線，它的傾斜角的正切值叫這條直線的斜率，常用k表示，即k=tanα，常用斜率表示傾斜角不等于90°的直線對于x軸的傾斜程度。

　　3、到角

　　L1依逆時針方向旋轉到與L2重合時所轉的角。（L1到L2的角）

　　4、夾角

　　L1和L2相交構成的四個角中不大于直角的角叫這兩條直線所成的角，簡稱夾角。（L1和L2的夾角或L1和L2所成的角）

　　二、直線與方程常用公式

　　1、斜率公式

　�。�1）A（m，n），B（p，q），且m≠p，則k=（n—q）/（m—p）；

　�。�2）若直線AB的傾斜角為α，且α≠π/2，則k=tanα。

　　2、“到角”及“夾角”公式

　　設L1：y=k1x+b1，L2：y=k2x+b2，

　�。�1）當1＋k1k2≠0時，L1到L2的角為θ，則tanθ=（k2—k1）/（1+k1k2）；

　　L1與L2的夾角為α，則tanα=|（k2—k1）/（1+k1k2）|。

　�。�2）當1＋k1k2=0時，兩直線夾角為π/2。

　　3、點到直線的距離公式

　　點P（x0，y0）到∶Ax＋By＋C=0的距離∶

　　d=|Ax0＋By0＋C|/√（A^2＋B^2）。

　　4、平行線間的距離公式

　　兩平行線Ax＋By+C1=0與Ax＋By+C2=0之間的距離為：

　　d=|C1—C2|/√（A^2＋B^2）。

　　三、直線與方程常用定理

　　兩直線位置關系的判定與性質定理如下：

　�。�1）當L1：y=k1x+b1，L2：y=k2x+b2，

　　平行：k1=k2，且b1≠b2；

　　垂直：k1k2=—1；

　　相交：k1≠k2；

　　重合：k1=k2，且b1=b2；

　�。�2）當L1：A1x＋B1y+C1=0，L2：A2x＋B2y+C2=0，

　　平行：A1/A2=B1/B2，且A1/A2≠C1/C2；

　　垂直：A1A2+B1B2=0；

　　相交：A1B2≠A2B1；

　　重合：A1/A2=B1/B2，且A1/A2=C1/C2。

　　圓與方程

　　一、圓與方程概念、符號

　　曲線的方程、方程的曲線

　　在平面直角坐標系中，如果某曲線C（看做適合某種條件的點的集合或軌跡）上的點與一個二元方程f（x，y）=0的實數解建立了如下的關系：

　　①曲線上的點的坐標都是這個方程的解；

　�、谝赃@個方程的解為坐標的點都是曲線上的點。

　　那么，這個方程叫做曲線的方程，這條曲線叫做方程的曲線。

　　二、圓與方程常用公式

　　1、圓的標準方程

　　方程（x—a）＋（y—b）=r是圓心為（a，b），半徑為r的圓的標準方程。

　　其中當a=b=0時，x＋y=r表示圓心為（0，0），半徑為r的圓。

　　2、圓的一般方程

　　方程x＋y＋Dx＋Ey+F=0，當D＋E—4F>0時，稱為圓的一般方程，

　　其中圓心為（—D/2，—E/2），半徑r=1/2√（D＋E—4F）。

　　3、圓的參數方程

　　設C（a，b），半徑為R，則其參數方程為

　　x=a+Rcosθ；y=b+Rsinθ（θ為參數，0≤θ＜2π）。

　　4、直線與圓的位置關系

　　設直線L：Ax+By+C=0，圓C：（x—a）＋（y—b）=r。

　　圓心C（a，b）到L的距離為

　　d=|Aa＋Bb＋C|/√（A^2＋B^2），

　　d>rL與圓C相離；

　　d=rL與圓C相切；

　　d<rL與圓C相交。

　　5。圓與圓的位置關系

　　設圓C1：（x—a1）+（y—b1）=r，圓C2：（x—a2）+（y—b2）=R。

　　設兩圓的圓心距為

　　d=√[（a1—a2）^2＋（b1—b2）^2]，

　　d>R＋r兩圓外離；

　　d=R＋r兩圓外切；

　　R—rl<d<R＋r兩圓相交；

　　d=R—r兩圓內切；

　　d<R—r兩圓內含。

　　高一必修2數學知識點總結 5

　　一、集合有關概念

　　1.集合的含義

　　2.集合的中元素的三個特性：

　　(1)元素的確定性如：世界上的山

　　(2)元素的互異性如：由HAPPY的字母組成的集合{H,A,P,Y}

　　(3)元素的無序性:如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一個集合

　　3.集合的表示：{…}如：{我校的籃球隊員}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}

　　(1)用拉丁字母表示集合：A={我校的籃球隊員},B={1,2,3,4,5}

　　(2)集合的表示方法：列舉法與描述法。

　　注意：常用數集及其記法：

　　非負整數集(即自然數集)記作：N

　　正整數集：N_或N+

　　整數集：Z

　　有理數集：Q

　　實數集：R

　　1)列舉法：{a,b,c……}

　　2)描述法：將集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號內表示集合{xR|x-3>2},{x|x-3>2}

　　3)語言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}

　　4)Venn圖:

　　4、集合的分類：

　　(1)有限集含有有限個元素的集合

　　(2)無限集含有無限個元素的集合

　　(3)空集不含任何元素的集合例：{x|x2=-5｝

　　二、集合間的基本關系

　　1.“包含”關系—子集

　　注意：有兩種可能(1)A是B的一部分，;(2)A與B是同一集合。

　　反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,記作AB或BA

　　2.“相等”關系：A=B(5≥5，且5≤5，則5=5)

　　實例：設A={x|x2-1=0}B={-1,1}“元素相同則兩集合相等”

　　即：①任何一個集合是它本身的子集。AA

　　②真子集:如果AB,且AB那就說集合A是集合B的真子集，記作AB(或BA)

　　③如果AB,BC,那么AC

　　④如果AB同時BA那么A=B

　　3.不含任何元素的集合叫做空集，記為Φ

　　規定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

　　4.子集個數：

　　有n個元素的集合，含有2n個子集，2n-1個真子集，含有2n-1個非空子集，含有2n-1個非空真子集

　　三、集合的運算

　　運算類型交集并集補集

　　定義由所有屬于A且屬于B的元素所組成的集合,叫做A,B的交集.記作AB(讀作‘A交B’)，即AB={x|xA，且xB｝.

　　由所有屬于集合A或屬于集合B的元素所組成的集合，叫做A,B的并集.記作：AB(讀作‘A并B’)，即AB={x|xA，或xB}).

　　設S是一個集合，A是S的一個子集，由S中所有不屬于A的元素組成的集合，叫做S中子集A的補集(或余集)

　　記作，即

　　CSA=

　　AA=A

　　AΦ=Φ

　　AB=BA

　　ABA

　　ABB

　　AA=A

　　AΦ=A

　　AB=BA

　　ABA

　　ABB

　　(CuA)(CuB)

　　=Cu(AB)

　　(CuA)(CuB)

　　=Cu(AB)

　　A(CuA)=U

　　A(CuA)=Φ.

　　四、函數的有關概念

　　1.函數的概念

　　設A、B是非空的數集，如果按照某個確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數x，在集合B中都有確定的數f(x)和它對應，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數.記作：y=f(x)，x∈A.其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數的定義域;與x的值相對應的y值叫做函數值，函數值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數的值域.

　　注意：

　　1.定義域：能使函數式有意義的實數x的集合稱為函數的定義域。

　　求函數的定義域時列不等式組的主要依據是：

　　(1)分式的分母不等于零;

　　(2)偶次方根的被開方數不小于零;

　　(3)對數式的真數必須大于零;

　　(4)指數、對數式的底必須大于零且不等于1.

　　(5)如果函數是由一些基本函數通過四則運算結合而成的那么，它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合.

　　(6)指數為零底不可以等于零，

　　(7)實際問題中的函數的定義域還要保證實際問題有意義.

　　相同函數的判斷方法：

　�、俦磉_式相同(與表示自變量和函數值的字母無關);

　�、诙x域一致(兩點必須同時具備)

　　2.值域:先考慮其定義域

　　(1)觀察法

　　(2)配方法

　　(3)代換法

　　3.函數圖象知識歸納

　　(1)定義：

　　在平面直角坐標系中，以函數y=f(x),(x∈A)中的x為橫坐標，函數值y為縱坐標的點P(x，y)的集合C，叫做函數y=f(x),(x∈A)的圖象.C上每一點的坐標(x，y)均滿足函數關系y=f(x)，反過來，以滿足y=f(x)的每一組有序實數對x、y為坐標的點(x，y)，均在C上.

　　(2)畫法

　　1.描點法：

　　2.圖象變換法：常用變換方法有三種：

　　1)平移變換

　　2)伸縮變換

　　3)對稱變換

　　4.區間的概念

　　(1)區間的分類：開區間、閉區間、半開半閉區間

　　(2)無窮區間

　　(3)區間的數軸表示.

　　5.映射

　　一般地，設A、B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應法則f，使對于集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有確定的元素y與之對應，那么就稱對應f：AB為從集合A到集合B的一個映射。記作“f(對應關系)：A(原象)B(象)”

　　對于映射f：A→B來說，則應滿足：

　　(1)集合A中的每一個元素，在集合B中都有象，并且象是的;

　　(2)集合A中不同的元素，在集合B中對應的象可以是同一個;

　　(3)不要求集合B中的每一個元素在集合A中都有原象。

　　6.分段函數

　　(1)在定義域的不同部分上有不同的解析表達式的函數。

　　(2)各部分的自變量的取值情況.

　　(3)分段函數的定義域是各段定義域的交集，值域是各段值域的并集.

　　補充：復合函數

　　如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),則y=f[g(x)]=F(x)(x∈A)稱為f、g的復合函數。

　　二.函數的性質

　　1.函數的單調性(局部性質)

　　(1)增函數

　　設函數y=f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內的某個區間D內的任意兩個自變量x1，x2，當x1

　　如果對于區間D上的任意兩個自變量的值x1，x2，當x1

　　注意：函數的單調性是函數的局部性質;

　　(2)圖象的特點

　　如果函數y=f(x)在某個區間是增函數或減函數，那么說函數y=f(x)在這一區間上具有(嚴格的)單調性，在單調區間上增函數的圖象從左到右是上升的，減函數的圖象從左到右是下降的

　　(3).函數單調區間與單調性的判定方法

　　(A)定義法：

　　(1)任取x1，x2∈D，且x1

　　(2)作差f(x1)-f(x2);或者做商

　　(3)變形(通常是因式分解和配方);

　　(4)定號(即判斷差f(x1)-f(x2)的正負);

　　(5)下結論(指出函數f(x)在給定的區間D上的單調性).

　　(B)圖象法(從圖象上看升降)

　　(C)復合函數的單調性

　　復合函數f[g(x)]的單調性與構成它的函數u=g(x)，y=f(u)的單調性密切相關，其規律：“同增異減”

　　注意：函數的單調區間只能是其定義域的子區間,不能把單調性相同的區間和在一起寫成其并集.

　　8.函數的奇偶性(整體性質)

　　(1)偶函數：一般地，對于函數f(x)的定義域內的任意一個x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函數.

　　(2)奇函數：一般地，對于函數f(x)的定義域內的任意一個x，都有f(-x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函數.

　　(3)具有奇偶性的函數的圖象的特征：偶函數的圖象關于y軸對稱;奇函數的圖象關于原點對稱.

　　9.利用定義判斷函數奇偶性的步驟：

　　○1首先確定函數的定義域，并判斷其是否關于原點對稱;

　　○2確定f(-x)與f(x)的關系;

　　○3作出相應結論：若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0，則f(x)是偶函數;若f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0，則f(x)是奇函數.

　　注意：函數定義域關于原點對稱是函數具有奇偶性的必要條件.首先看函數的定義域是否關于原點對稱，若不對稱則函數是非奇非偶函數.若對稱；

　　(1)再根據定義判定;

　　(2)由f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1來判定;

　　(3)利用定理，或借助函數的圖象判定.

　　10、函數的解析表達式

　　(1)函數的解析式是函數的一種表示方法，要求兩個變量之間的函數關系時，一是要求出它們之間的對應法則，二是要求出函數的定義域.

　　(2)求函數的解析式的主要方法有：

　　1.湊配法

　　2.待定系數法

　　3.換元法

　　4.消參法

　　11.函數(小)值

　　○1利用二次函數的性質(配方法)求函數的(小)值

　　○2利用圖象求函數的(小)值

　　○3利用函數單調性的判斷函數的(小)值：

　　如果函數y=f(x)在區間[a，b]上單調遞增，在區間[b，c]上單調遞減則函數y=f(x)在x=b處有值f(b);

　　如果函數y=f(x)在區間[a，b]上單調遞減，在區間[b，c]上單調遞增則函數y=f(x)在x=b處有最小值f(b);

　　第三章基本初等函數

　　一、指數函數

　　(一)指數與指數冪的運算

　　1.根式的概念：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中>1，且∈_.

　　負數沒有偶次方根;0的任何次方根都是0，記作。

　　當是奇數時，，當是偶數時，

　　2.分數指數冪

　　正數的分數指數冪的`意義，規定：

　　0的正分數指數冪等于0，0的負分數指數冪沒有意義

　　3.實數指數冪的運算性質

　　(1);

　　(2);

　　(3).

　　(二)指數函數及其性質

　　1、指數函數的概念：一般地，函數叫做指數函數，其中x是自變量，函數的定義域為R.

　　注意：指數函數的底數的取值范圍，底數不能是負數、零和1.

　　2、指數函數的圖象和性質

　　a>10

　　定義域R定義域R

　　值域y>0值域y>0

　　在R上單調遞增在R上單調遞減

　　非奇非偶函數非奇非偶函數

　　函數圖象都過定點(0，1)函數圖象都過定點(0，1)

　　注意：利用函數的單調性，結合圖象還可以看出：

　　(1)在[a，b]上，值域是或;

　　(2)若，則;取遍所有正數當且僅當;

　　(3)對于指數函數，總有;

　　二、對數函數

　　(一)對數

　　1.對數的概念：

　　一般地，如果，那么數叫做以為底的對數，記作：(—底數，—真數，—對數式)

　　說明：○1注意底數的限制，且;

　　○2;

　　○3注意對數的書寫格式.

　　兩個重要對數：

　　○1常用對數：以10為底的對數;

　　○2自然對數：以無理數為底的對數的對數.

　　指數式與對數式的互化

　　冪值真數

　　=N=b

　　底數

　　指數對數

　　(二)對數的運算性質

　　如果，且，，，那么：

　　○1+;

　　○2-;

　　○3.

　　注意：換底公式：(，且;，且;).

　　利用換底公式推導下面的結論：(1);(2).

　　(3)、重要的公式

　　①、負數與零沒有對數;

　�、�、，

　�、�、對數恒等式

　　(二)對數函數

　　1、對數函數的概念：函數，且叫做對數函數，其中是自變量，函數的定義域是(0，+∞).

　　注意：○1對數函數的定義與指數函數類似，都是形式定義，注意辨別。如：，都不是對數函數，而只能稱其為對數型函數.

　　○2對數函數對底數的限制：，且.

　　2、對數函數的性質：

　　a>10

　　定義域x>0定義域x>0

　　值域為R值域為R

　　在R上遞增在R上遞減

　　函數圖象都過定點(1，0)函數圖象都過定點(1，0)

　　(三)冪函數

　　1、冪函數定義：一般地，形如的函數稱為冪函數，其中為常數.

　　2、冪函數性質歸納.

　　(1)所有的冪函數在(0，+∞)都有定義并且圖象都過點(1，1);

　　(2)時，冪函數的圖象通過原點，并且在區間上是增函數.特別地，當時，冪函數的圖象下凸;當時，冪函數的圖象上凸;

　　(3)時，冪函數的圖象在區間上是減函數.在第一象限內，當從右邊趨向原點時，圖象在軸右方無限地逼近軸正半軸，當趨于時，圖象在軸上方無限地逼近軸正半軸.

　　第四章函數的應用

　　一、方程的根與函數的零點

　　1、函數零點的概念：對于函數，把使成立的實數叫做函數的零點。

　　2、函數零點的意義：函數的零點就是方程實數根，亦即函數的圖象與軸交點的橫坐標。

　　即：方程有實數根函數的圖象與軸有交點函數有零點.

　　3、函數零點的求法：

　　○1(代數法)求方程的實數根;

　　○2(幾何法)對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數的圖象聯系起來，并利用函數的性質找出零點.

　　4、二次函數的零點：

　　二次函數.

　　(1)△>0，方程有兩不等實根，二次函數的圖象與軸有兩個交點，二次函數有兩個零點.

　　(2)△=0，方程有兩相等實根，二次函數的圖象與軸有一個交點，二次函數有一個二重零點或二階零點.

　　(3)△<0，方程無實根，二次函數的圖象與軸無交點，二次函數無零點.

　　高一必修2數學知識點總結 6

　　1.對于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“確定性、互異性、無序性”。

　　中元素各表示什么?

　　注重借助于數軸和文氏圖解集合問題。

　　空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。

　　3.注意下列性質：

　　(3)德摩根定律：

　　4.你會用補集思想解決問題嗎?(排除法、間接法)

　　的取值范圍。

　　6.命題的四種形式及其相互關系是什么?

　　(互為逆否關系的命題是等價命題。)

　　原命題與逆否命題同真、同假;逆命題與否命題同真同假。

　　7.對映射的概念了解嗎?映射f：A→B，是否注意到A中元素的任意性和B中與之對應元素的性，哪幾種對應能構成映射?

　　(一對一，多對一，允許B中有元素無原象。)

　　8.函數的三要素是什么?如何比較兩個函數是否相同?

　　(定義域、對應法則、值域)

　　9.求函數的定義域有哪些常見類型?

　　10.如何求復合函數的定義域?

　　義域是_____________。

　　11.求一個函數的解析式或一個函數的反函數時，注明函數的定義域了嗎?

　　12.反函數存在的條件是什么?

　　(一一對應函數)

　　求反函數的步驟掌握了嗎?

　�、俜唇鈞;

　�、诨Qx、y;

　�、圩⒚鞫x域

　　13.反函數的性質有哪些?

　�、倩榉春瘮档膱D象關于直線y=x對稱;

　�、诒４媪嗽瓉砗瘮档膯握{性、奇函數性;

　　14.如何用定義證明函數的單調性?

　　(取值、作差、判正負)

　　如何判斷復合函數的單調性?

　　∴……)

　　15.如何利用導數判斷函數的單調性?

　　值是()

　　A.0B.1C.2D.3

　　∴a的值為3)

　　16.函數f(x)具有奇偶性的必要(非充分)條件是什么?

　　(f(x)定義域關于原點對稱)

　　注意如下結論：

　　(1)在公共定義域內：兩個奇函數的乘積是偶函數;兩個偶函數的乘積是偶函數;一個偶函數與奇函數的乘積是奇函數。

　　17.你熟悉周期函數的定義嗎?

　　函數，T是一個周期。)

　　如：

　　18.你掌握常用的圖象變換了嗎?

　　注意如下“翻折”變換：

　　19.你熟練掌握常用函數的圖象和性質了嗎?

　　的雙曲線。

　　應用：

　�、佟叭齻€二次”(二次函數、二次方程、二次不等式)的關系——二次方程

　　②求閉區間[m，n]上的最值。

　�、矍髤^間定(動)，對稱軸動(定)的最值問題。

　�、芤辉畏匠谈姆植紗栴}。

　　由圖象記性質!(注意底數的限定!)

　　利用它的單調性求最值與利用均值不等式求最值的區別是什么?

　　20.你在基本運算上常出現錯誤嗎?

　　21.如何解抽象函數問題?

　　(賦值法、結構變換法)

　　22.掌握求函數值域的常用方法了嗎?

　　(二次函數法(配方法)，反函數法，換元法，均值定理法，判別式法，利用函數單調性法，導數法等。)

　　如求下列函數的最值：

　　23.你記得弧度的定義嗎?能寫出圓心角為α，半徑為R的弧長公式和扇形面積公式嗎?

　　24.熟記三角函數的定義，單位圓中三角函數線的定義

　　25.你能迅速畫出正弦、余弦、正切函數的圖象嗎?并由圖象寫出單調區間、對稱點、對稱軸嗎?

　　(x，y)作圖象。

　　27.在三角函數中求一個角時要注意兩個方面——先求出某一個三角函數值，再判定角的范圍。

　　28.在解含有正、余弦函數的問題時，你注意(到)運用函數的有界性了嗎?

　　29.熟練掌握三角函數圖象變換了嗎?

　　(平移變換、伸縮變換)

　　平移公式：

　　圖象?

　　30.熟練掌握同角三角函數關系和誘導公式了嗎?

　　“奇”、“偶”指k取奇、偶數。

　　A.正值或負值

　　B.負值

　　C.非負值

　　D.正值

　　31.熟練掌握兩角和、差、倍、降冪公式及其逆向應用了嗎?

　　理解公式之間的聯系：

　　應用以上公式對三角函數式化簡。(化簡要求：項數最少、函數種類最少，分母中不含三角函數，能求值，盡可能求值。)

　　具體方法：

　　(2)名的變換：化弦或化切

　　(3)次數的變換：升、降冪公式

　　(4)形的變換：統一函數形式，注意運用代數運算。

　　32.正、余弦定理的各種表達形式你還記得嗎?如何實現邊、角轉化，而解斜三角形?

　　(應用：已知兩邊一夾角求第三邊;已知三邊求角。)

　　33.用反三角函數表示角時要注意角的范圍。

　　34.不等式的性質有哪些?

　　答案：C

　　35.利用均值不等式：

　　值?(一正、二定、三相等)

　　注意如下結論：

　　36.不等式證明的基本方法都掌握了嗎?

　　(比較法、分析法、綜合法、數學歸納法等)

　　并注意簡單放縮法的應用。

　　(移項通分，分子分母因式分解，x的系數變為1，穿軸法解得結果。)

　　38.用“穿軸法”解高次不等式——“奇穿，偶切”，從根的右上方開始

　　39.解含有參數的不等式要注意對字母參數的討論

　　40.對含有兩個絕對值的不等式如何去解?

　　(找零點，分段討論，去掉絕對值符號，最后取各段的并集。)

　　證明：

　　(按不等號方向放縮)

　　42.不等式恒成立問題，常用的處理方式是什么?(可轉化為最值問題，或“△”問題)

　　43.等差數列的定義與性質

　　0的二次函數)

　　項，即：

　　44.等比數列的定義與性質

　　46.你熟悉求數列通項公式的常用方法嗎?

　　例如：(1)求差(商)法

　　解：

　　[練習]

　　(2)疊乘法

　　解：

　　(3)等差型遞推公式

　　[練習]

　　(4)等比型遞推公式

　　[練習]

　　(5)倒數法

　　47.你熟悉求數列前n項和的常用方法嗎?

　　例如：

　　(1)裂項法：把數列各項拆成兩項或多項之和，使之出現成對互為相反數的項。

　　解：

　　[練習]

　　(2)錯位相減法：

　　(3)倒序相加法：把數列的各項順序倒寫，再與原來順序的數列相加。

　　[練習]

　　48.你知道儲蓄、貸款問題嗎?

　　△零存整取儲蓄(單利)本利和計算模型：

　　若每期存入本金p元，每期利率為r，n期后，本利和為：

　　△若按復利，如貸款問題——按揭貸款的每期還款計算模型(按揭貸款——分期等額歸還本息的借款種類)

　　若貸款(向銀行借款)p元，采用分期等額還款方式，從借款日算起，一期(如一年)后為第一次還款日，如此下去，第n次還清。如果每期利率為r(按復利)，那么每期應還x元，滿足

　　p——貸款數，r——利率，n——還款期數

　　49.解排列、組合問題的依據是：分類相加，分步相乘，有序排列，無序組合。

　　(2)排列：從n個不同元素中，任取m(m≤n)個元素，按照一定的順序排成一

　　(3)組合：從n個不同元素中任取m(m≤n)個元素并組成一組，叫做從n個不

　　50.解排列與組合問題的規律是：

　　相鄰問題_法;相間隔問題插空法;定位問題優先法;多元問題分類法;至多至少問題間接法;相同元素分組可采用隔板法，數量不大時可以逐一排出結果。

　　如：學號為1，2，3，4的四名學生的考試成績

　　則這四位同學考試成績的所有可能情況是()

　　A.24B.15C.12D.10

　　解析：可分成兩類：

　　(2)中間兩個分數相等

　　相同兩數分別取90，91，92，對應的排列可以數出來，分別有3，4，3種，∴有10種。

　　∴共有5+10=15(種)情況

　　51.二項式定理

　　性質：

　　(3)最值：n為偶數時，n+1為奇數，中間一項的二項式系數且為第

　　表示)

　　52.你對隨機事件之間的關系熟悉嗎?

　　的和(并)。

　　(5)互斥事件(互不相容事件)：“A與B不能同時發生”叫做A、B互斥。

　　(6)對立事件(互逆事件)：

　　(7)獨立事件：A發生與否對B發生的概率沒有影響，這樣的兩個事件叫做相互獨立事件。

　　53.對某一事件概率的求法：

　　分清所求的是：

　　(1)等可能事件的概率(常采用排列組合的方法，即

　　(5)如果在一次試驗中A發生的概率是p，那么在n次獨立重復試驗中A恰好發生

　　如：設10件產品中有4件次品，6件正品，求下列事件的概率。

　　(1)從中任取2件都是次品;

　　(2)從中任取5件恰有2件次品;

　　(3)從中有放回地任取3件至少有2件次品;

　　解析：有放回地抽取3次(每次抽1件)，∴n=103

　　而至少有2件次品為“恰有2次品”和“三件都是次品”

　　(4)從中依次取5件恰有2件次品。

　　解析：∵一件一件抽取(有順序)

　　分清(1)、(2)是組合問題，(3)是可重復排列問題，(4)是無重復排列問題。

　　54.抽樣方法主要有：簡單隨機抽樣(抽簽法、隨機數表法)常常用于總體個數較少時，它的特征是從總體中逐個抽取;系統抽樣，常用于總體個數較多時，它的主要特征是均衡成若干部分，每部分只取一個;分層抽樣，主要特征是分層按比例抽樣，主要用于總體中有明顯差異，它們的共同特征是每個個體被抽到的概率相等，體現了抽樣的客觀性和平等性。

　　55.對總體分布的估計——用樣本的頻率作為總體的概率，用樣本的期望(平均值)和方差去估計總體的期望和方差。

　　要熟悉樣本頻率直方圖的作法：

　　(2)決定組距和組數;

　　(3)決定分點;

　　(4)列頻率分布表;

　　(5)畫頻率直方圖。

　　如：從10名_與5名男生中選6名學生參加比賽，如果按性別分層隨機抽樣，則組成此參賽隊的概率為____________。

　　56.你對向量的有關概念清楚嗎?

　　(1)向量——既有大小又有方向的量。

　　在此規定下向量可以在平面(或空間)平行移動而不改變。

　　(6)并線向量(平行向量)——方向相同或相反的向量。

　　規定零向量與任意向量平行。

　　(7)向量的加、減法如圖：

　　(8)平面向量基本定理(向量的分解定理)

　　的一組基底。

　　(9)向量的坐標表示

　　表示。

　　57.平面向量的數量積

　　數量積的幾何意義：

　　(2)數量積的運算法則

　　[練習]

　　答案：

　　答案：2

　　答案：

　　58.線段的定比分點

　　※.你能分清三角形的重心、垂心、外心、內心及其性質嗎?

　　59.立體幾何中平行、垂直關系證明的思路清楚嗎?

　　平行垂直的證明主要利用線面關系的轉化：

　　線面平行的判定：

　　線面平行的性質：

　　三垂線定理(及逆定理)：

　　線面垂直：

　　面面垂直：

　　60.三類角的定義及求法

　　(1)異面直線所成的角θ，0°<θ≤90°

　　(2)直線與平面所成的角θ，0°≤θ≤90°

　　(三垂線定理法：A∈α作或證AB⊥β于B，作BO⊥棱于O，連AO，則AO⊥棱l，∴∠AOB為所求。)

　　三類角的求法：

　�、僬页龌蜃鞒鲇嘘P的角。

　　②證明其符合定義，并指出所求作的角。

　�、塾嬎愦笮�(解直角三角形，或用余弦定理)。

　　[練習]

　　(1)如圖，OA為α的斜線OB為其在α_影，OC為α內過O點任一直線。

　　(2)如圖，正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中對角線BD1=8，BD1與側面B1BCC1所成的為30°。

　�、偾驜D1和底面ABCD所成的角;

　�、谇螽惷嬷本€BD1和AD所成的角;

　　③求二面角C1—BD1—B1的大小。

　　(3)如圖ABCD為菱形，∠DAB=60°，PD⊥面ABCD，且PD=AD，求面PAB與面PCD所成的銳二面角的大小。

　　(∵AB∥DC，P為面PAB與面PCD的公共點，作PF∥AB，則PF為面PCD與面PAB的交線……)

　　61.空間有幾種距離?如何求距離?

　　點與點，點與線，點與面，線與線，線與面，面與面間距離。

　　將空間距離轉化為兩點的距離，構造三角形，解三角形求線段的長(如：三垂線定理法，或者用等積轉化法)。

　　如：正方形ABCD—A1B1C1D1中，棱長為a，則：

　　(1)點C到面AB1C1的距離為___________;

　　(2)點B到面ACB1的距離為____________;

　　(3)直線A1D1到面AB1C1的距離為____________;

　　(4)面AB1C與面A1DC1的距離為____________;

　　(5)點B到直線A1C1的距離為_____________。

　　62.你是否準確理解正棱柱、正棱錐的定義并掌握它們的性質?

　　正棱柱——底面為正多邊形的直棱柱

　　正棱錐——底面是正多邊形，頂點在底面的射影是底面的中心。

　　正棱錐的計算集中在四個直角三角形中：

　　它們各包含哪些元素?

　　63.球有哪些性質?

　　(2)球面上兩點的距離是經過這兩點的大圓的劣弧長。為此，要找球心角!

　　(3)如圖，θ為緯度角，它是線面成角;α為經度角，它是面面成角。

　　(5)球內接長方體的對角線是球的直徑。正四面體的外接球半徑R與內切球半徑r之比為R：r=3：1。

　　積為()

　　答案：A

　　64.熟記下列公式了嗎?

　　(2)直線方程：

　　65.如何判斷兩直線平行、垂直?

　　66.怎樣判斷直線l與圓C的位置關系?

　　圓心到直線的距離與圓的半徑比較。

　　直線與圓相交時，注意利用圓的“垂徑定理”。

　　67.怎樣判斷直線與圓錐曲線的位置?

　　68.分清圓錐曲線的定義

　　70.在圓錐曲線與直線聯立求解時，消元后得到的方程，要注意其二次項系數是否為零?△≥0的限制。(求交點，弦長，中點，斜率，對稱存在性問題都在△≥0下進行。)

　　71.會用定義求圓錐曲線的焦半徑嗎?

　　如：

　　通徑是拋物線的所有焦點弦中最短者;以焦點弦為直徑的圓與準線相切。

　　72.有關中點弦問題可考慮用“代點法”。

　　答案：

　　73.如何求解“對稱”問題?

　　(1)證明曲線C：F(x，y)=0關于點M(a，b)成中心對稱，設A(x，y)為曲線C上任意一點，設A'(x'，y')為A關于點M的對稱點。

　　75.求軌跡方程的常用方法有哪些?注意討論范圍。

　　(直接法、定義法、轉移法、參數法)

　　76.對線性規劃問題：作出可行域，作出以目標函數為截距的直線，在可行域內平移直線，求出目標函數的最值。

　　高一必修2數學知識點總結 7

　　集合具有某種特定性質的事物的總體。這里的事物可以是人，物品，也可以是數學元素。

　　例如：

　　1、分散的人或事物聚集到一起；使聚集：緊急～。

　　2、數學名詞。一組具有某種共同性質的數學元素：有理數的～。

　　3、口號等等。集合在數學概念中有好多概念，如集合論：集合是現代數學的基本概念，專門研究集合的理論叫做集合論�？低校–antor，G、F、P、，1845年1918年，德國數學家先驅，是集合論的，目前集合論的基本思想已經滲透到現代數學的所有領域。

　　集合，在數學上是一個基礎概念。

　　什么叫基礎概念？基礎概念是不能用其他概念加以定義的概念。集合的概念，可通過直觀、公理的方法來下定義。

　　集合是把人們的直觀的或思維中的某些確定的能夠區分的對象匯合在一起，使之成為一個整體（或稱為單體），這一整體就是集合。組成一集合的那些對象稱為這一集合的元素（或簡稱為元）。

　　集合與集合之間的關系

　　某些指定的對象集在一起就成為一個集合集合符號，含有有限個元素叫有限集，含有無限個元素叫無限集，空集是不含任何元素的集，記做。空集是任何集合的子集，是任何非空集的真子集。任何集合是它本身的子集。子集，真子集都具有傳遞性。

　　（說明一下：如果集合A的所有元素同時都是集合B的元素，則A稱作是B的子集，寫作AB。若A是B的子集，且A不等于B，則A稱作是B的真子集，一般寫作AB。中學教材課本里將符號下加了一個符號，不要混淆，考試時還是要以課本為準。所有男人的集合是所有人的集合的真子集。）

　　高一必修2數學知識點總結 8

　　圓的方程定義：

　　圓的標準方程（x—a）2+（y—b）2=r2中，有三個參數a、b、r，即圓心坐標為（a，b），只要求出a、b、r，這時圓的方程就被確定，因此確定圓方程，須三個獨立條件，其中圓心坐標是圓的定位條件，半徑是圓的定形條件。

　　直線和圓的位置關系：

　　1、直線和圓位置關系的判定方法一是方程的觀點，即把圓的方程和直線的方程聯立成方程組，利用判別式Δ來討論位置關系。

　　①Δ>0，直線和圓相交、

　�、讦�=0，直線和圓相切、

　　③Δ<0，直線和圓相離。

　　方法二是幾何的觀點，即把圓心到直線的距離d和半徑R的大小加以比較。

　　①dR，直線和圓相離、

　　2、直線和圓相切，這類問題主要是求圓的切線方程、求圓的切線方程主要可分為已知斜率k或已知直線上一點兩種情況，而已知直線上一點又可分為已知圓上一點和圓外一點兩種情況。

　　3、直線和圓相交，這類問題主要是求弦長以及弦的中點問題。

　　切線的性質

　�、艌A心到切線的距離等于圓的半徑；

　　⑵過切點的半徑垂直于切線；

　　⑶經過圓心，與切線垂直的直線必經過切點；

　�、冉涍^切點，與切線垂直的直線必經過圓心；

　　當一條直線滿足

　�。�1）過圓心；

　�。�2）過切點；

　　（3）垂直于切線三個性質中的兩個時，第三個性質也滿足。

　　切線的判定定理

　　經過半徑的外端點并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。

　　切線長定理

　　從圓外一點作圓的兩條切線，兩切線長相等，圓心與這一點的連線平分兩條切線的夾角。

　　高一必修2數學知識點總結 9

　　1.多面體的結構特征

　　(1)棱柱有兩個面相互平行，其余各面都是平行四邊形，每相鄰兩個四邊形的公共邊平行。

　　正棱柱：側棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多邊形的直棱柱叫做正棱柱.反之，正棱柱的底面是正多邊形，側棱垂直于底面，側面是矩形。

　　(2)棱錐的底面是任意多邊形，側面是有一個公共頂點的三角形。

　　正棱錐：底面是正多邊形，頂點在底面的射影是底面正多邊形的中心的棱錐叫做正棱錐.特別地，各棱均相等的正三棱錐叫正四面體.反過來，正棱錐的底面是正多邊形，且頂點在底面的射影是底面正多邊形的中心。

　　(3)棱臺可由平行于底面的平面截棱錐得到，其上下底面是相似多邊形。

　　2.旋轉體的結構特征

　　(1)圓柱可以由矩形繞一邊所在直線旋轉一周得到.

　　(2)圓錐可以由直角三角形繞一條直角邊所在直線旋轉一周得到.

　　(3)圓臺可以由直角梯形繞直角腰所在直線旋轉一周或等腰梯形繞上下底面中心所在直線旋轉半周得到，也可由平行于底面的平面截圓錐得到。

　　(4)球可以由半圓面繞直徑旋轉一周或圓面繞直徑旋轉半周得到。

　　3.空間幾何體的三視圖

　　空間幾何體的三視圖是用平行投影得到，這種投影下，與投影面平行的平面圖形留下的影子，與平面圖形的形狀和大小是全等和相等的，三視圖包括正視圖、側視圖、俯視圖。

　　三視圖的長度特征：“長對正，寬相等，高平齊”，即正視圖和側視圖一樣高，正視圖和俯視圖一樣長，側視圖和俯視圖一樣寬.若相鄰兩物體的表面相交，表面的交線是它們的分界線，在三視圖中，要注意實、虛線的畫法。

　　4.空間幾何體的直觀圖

　　空間幾何體的直觀圖常用斜二測畫法來畫，基本步驟是：

　　(1)畫幾何體的底面

　　在已知圖形中取互相垂直的x軸、y軸，兩軸相交于點O，畫直觀圖時，把它們畫成對應的x′軸、y′軸，兩軸相交于點O′，且使∠x′O′y′=45°或135°，已知圖形中平行于x軸、y軸的線段，在直觀圖中平行于x′軸、y′軸.已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中長度不變，平行于y軸的線段，長度變為原來的一半。

　　(2)畫幾何體的高

　　在已知圖形中過O點作z軸垂直于xOy平面，在直觀圖中對應的z′軸，也垂直于x′O′y′平面，已知圖形中平行于z軸的線段，在直觀圖中仍平行于z′軸且長度不變。

　　高一必修2數學知識點總結 10

　　冪函數的性質：

　　對于a的取值為非零有理數，有必要分成幾種情況來討論各自的特性：

　　首先我們知道如果a=p/q，q和p都是整數，則x^(p/q)=q次根號(x的p次方)，如果q是奇數，函數的定義域是R，如果q是偶數，函數的定義域是[0，+∞)。當指數n是負整數時，設a=-k，則x=1/(x^k)，顯然x≠0，函數的定義域是(-∞，0)∪(0，+∞).因此可以看到x所受到的限制來源于兩點，一是有可能作為分母而不能是0，一是有可能在偶數次的根號下而不能為負數，那么我們就可以知道：

　　排除了為0與負數兩種可能，即對于x>0，則a可以是任意實數;

　　排除了為0這種可能，即對于x<0x="">0的所有實數，q不能是偶數;

　　排除了為負數這種可能，即對于x為大于且等于0的所有實數，a就不能是負數。

　　總結起來，就可以得到當a為不同的數值時，冪函數的定義域的不同情況如下：如果a為任意實數，則函數的定義域為大于0的所有實數;

　　如果a為負數，則x肯定不能為0，不過這時函數的定義域還必須根據q的奇偶性來確定，即如果同時q為偶數，則x不能小于0，這時函數的定義域為大于0的所有實數;如果同時q為奇數，則函數的定義域為不等于0的所有實數。

　　在x大于0時，函數的值域總是大于0的實數。

　　在x小于0時，則只有同時q為奇數，函數的值域為非零的實數。

　　而只有a為正數，0才進入函數的值域。

　　由于x大于0是對a的任意取值都有意義的，因此下面給出冪函數在第一象限的各自情況.

　　可以看到：

　　(1)所有的圖形都通過(1，1)這點。

　　(2)當a大于0時，冪函數為單調遞增的，而a小于0時，冪函數為單調遞減函數。